Vinkler og linjer

Vinkler og linjer

3.1 Vinkelsum

Vinkelsummen af en polygon er 180 grader, vinkelsummen er hvor mange grader der er i figuren.

3.2 Nabovinkel

Nabovinkler fremkommer når en halvlinje udgår fra en ret linie.
Nabovinkler er tilsammen 180 grader.

3.3 Topvinkel

to vinkler med fælles toppunkt og vinkelben på de samme to rette linjer

Cirklen

Cirklen

1.1  Generelt om cirklen
Det er en Geometrisk figur, der er i et todimensionelt plan, en cirkel er 360 grader.

1.2 Linjer i cirklen
 Diameter: er den linje der går i lodret igennem centrum på cirklen, diameteren er altid dobbelt så lang som radius på cirklen.

Radius: Det er en ret linje fra centrum, radius er altid det halve af diameteren.

Tangent: En linje der netop rører cirklens periferi

Korde: en linje mellem de 2 punkter på periferien

1.3 Andre begreber

Areal: areal er størrelsen på en overflade, den mest brugte måle enhed til areal er kvadratmeter og kvadratcentimeter.

Omkreds: omkreds er længden af kanten.  

Cirkelperiferi: Det er Cirklens streg  

Phi: Det er et irrationalt tal, værdien af tallet er ca. 1.618033988  

1.4 vinkler i cirklen

Periferivinkel: Det er nogen punkter der har samme afstand fra centrum og har radius afstand fra cirklen.

Centervinkel: Det er en vinkel hvor toppunktet er centrum, som er en bue langs cirklens periferi.

Opgave 3 undersøgelser i 10 klasse

3. undersøgelser i 10.klasse

3.1

Tal taget fra skemaet øverst på siden

4+12+7+3+2=28

Der er 28 elever i hendes klasse

3.2

3.3

Tal aflæst fra skema

4+9=13

13 elever ud af 28 har tjent mere end 1500 kr.

13/28*100=46,43% har tjent mere.

3.4

Vi ved ikke præcist hvad de enkelte elever tjener så vi bliver nød til at tag det tal der ligger mellem de 2 intervaller og gange dem med antallet.

0-500=250

250*8=2000

500-1000=750

750*6=4500

1000-1500=1250

1250*1=1250

1500-2000=1750

1750*4=7000

2000-2500=2250

2250*9=20250

2000+4500+1250+7000+20250=35000

Så Dividere vi med antallet for at finde middeltallet

35000/28=1250

De Tjener 1250 kr. hver i gennemsnit. 

Fs10 maj 2009

1. Pengesedler

1.1

Det er fra 1713 til 2009

2009-1713=296

296 år

1.2

Svar aflæst på Graph

14 mia.

1.3

svar aflæst på graph  

1.1   mia 

1.4

En normal er 135 mm og 72mm og den seddel der skal undersøges er 190 mm og 101 mm

190-135=55

55/135*100=40,7

_______________________________

101-72=29

29/72=40,27

Så den er mere end 40% større så den overholder kravene

1.5

Papirrullen er 6800 m langt og 32 cm bredt.
En pengeseddel er 145 mm og 72 mm og det svare til at 14,5 cm og 7,2 cm

32/14,5  2

Så der kan være 2 i bredden

6800/7,2 944
og 944 i længden

944*2=1888

Der kan være 1888 pengesedler

1.6

 papir rullen er 6800m lang og 32cm bredt og papiret vejer 85 g/m²

6800*0,32=2176

2176*85=184960

184960 gram

1.7

100000*10*8*10=80000000 kr.

2. Mønter

2.1

Diameteren er 20,25

10,125

2.2

Pi*10,25²*1,6=528,1

hullet

pi*2,05²*1,6=21,12

528,1-21,12=506,98

2,3

3,6*0,75=2,7

2.4

2,7*4=10,8

0,9=12=10,8

10,8+10,8=21,6

2.5

72 dage

2.6

110500000*2,35=259675000 mm

259675000/1000000=259,75000 km.

20 erne er højere end mount ever west

3. Mønter i omløb

3.1

5250 mio.kr

3.2

?

3.3

svar ark

3.4

?

3.5

Model 1

4. Guld

4.1

647,7*19,3/1000=12,50061 kilo gram

4.2

7,46*556,5=4151,49 kr.

4.3

67 ton= 670000 kilo

670000/12,5061=53597,38

Ca 53579

4,4

585/1000=0,585

24/100*58,5*14,04

Så 14 karat

4.5

?

Forskellige Lån og Amortisationstabel

Amortisationstabel
Det er en plan over et låns afvikling
Annuitetslån Er lån hvor ydelsen er den samme hver termin
Serielån
Er et lån hvor afdragene er de samme hver termin
Stående lån
Det er et lån hvor man ikke betaler afdrag, man betaler kun renter. Og så afdrager man hele lånet den sidste termin.

Link
Amortisationstabel Beregner 
laankontanter.dk/amortisationsudregner

Annuitets regning

 

En annuitet er en række af betalinger

Fremtidsværdi af annuitet formel

A_n=y*

y= terminsydelse (det man indsætter hver termin)
n =Antal terminer

r= rente i kommatal

A_n=fremtidsværdi af annuiteten

A₀= nutidsværdi af annuiteten

Effektiv rente:

 

Den effektive rente i pr. n terminer beregnes som

Formel til effektiv rente

i=(1+r)ⁿ-1

Eksempel

Renten er 1% pr måned i 12 måneder

i=(1+0,01)¹²-1=12,68%

Formel til gennemsnitlig rente

Gennemsnitlig rente

Hvis der tilskrives renten r_i i periode i kan gns. Rente beregnes som

Formel til og beregne gennemsnit af procent.

)-1

Eksempel

Procenter 2%, 5%, 9%

Gennemsnit rente eksempel

)-1=0,0529=5,29%

Finansiel regning

 

Kapitalformel

K_n=K₀*(1+r)ⁿ

K_n=slutkapital (Det der står på kontoen efter en termin)

K₀ = Startkapital (Begyndelseskapital det jeg sætter ind til at starte med)

n = antal terminer (Antal gange man får tilskrevet renter)

r= renteprocenten i kommatal

=K_o

Diskrete og Kontinuente observationer

Diskrete Observationer

Spredning =

SAK = (x_i -)²*h_i

Varians =

Variationsbredden =største- mindste observation

Kvartilafstand = 3kvartil - 1 kvartil

Kontinuente Observationer

Spredning =

SAK = (m_i -)²*h_i

Varians =

Variationsbredden =Største interval midtpunkt - mindste interval midtpunkt

Kvartilafstand = 3kvartil - 1 kvartil

Kontinuente observationer

 

Grupperede observationer

Nab grupperer observationer i nogle intervaller

Interval frekvens

Beregnes som ”normalt”f_i=

Summeret interval frekvens

Beregnes som ”normalt ” f_i=

Middeltal = gennemsnit

Beregnes som =

Hvor m_i er intervalmidtpunkt

A - fraktilen er den mindste værdi x_i hvor f_i=a

Typeinterval

Er det interval der forekommer oftest

Diagram med frekvens op af y-aksen kaldes et søjlediagram

Diagram med summeret frekvens op ad y aksen kaldes en sumkurve

Potensfunktioner v2.1

Potensfunktioner

En potensfunktion er en funktion med den generelle forskrift:

F(x)=b*x^a hvor x>0 og b>0

Hvis a>0 er funktionen voksende

Hvis a<0 er funktionen aftagende

F(1)=b Dvs. b=y værdien når x=1

Finde forskrift ud fra 2 punkter

Hvis vi kender 2 punkter på funktionen

(x₁,y₁) og (x₂,y₂) så kan a og b findes som

a=

b=y₁*x₁^-a=

Løsning af potens ligninger

Hvis man har en ligning på formel

Xⁿ=a så kan den løses

N og a er tal

Sådan: x=

Eksempel

2*x⁷=10

X⁷=5

x==1,258

Procentvise ændringer

Hvis x ændres med r_x% og der gælder

r_y=(1+r_x)^a-1

r_x og r_y er procenten i kommatal

Eksempel

Forskriften f(x)=3*x^0,75

x	1	1,2	1,44	1,728
F(x)=3*x0,75	3	3,3496	3,9436	4,5215
Forskel	______	0,4396	0,5040	0,5779
Forskel i %	______	14,65%	14,65%	14,65

Halveringskonstant

 

For en eksponentiel aftagene funktion
f(x)= b*a^x, 0<a<1

Bestemmes halveringskonstant T_1/2

T_1/2=

Eksempel: Det radioaktive stof URAN 35 henfalder med 2% om året. Hvis jeg har 18 gram URAN.

Forskriften for det er: f(x)=18*0,98^x

Bestem halveringskonstanten

T_1/2 = =34,3

Fordoblingskonstant (fordoplingstiden)

For en voksende eksponentiel funktion
F(x)= b+a^x (a>1) bestemmes fordoblings konstanten T₂:
T₂=
Eksempel
F(x)=1,6*1,025^x
T₂=28

kopier ting fra nspire

Løs ligninger i nspire

Eksponentiel Funktioner

Eksponentielle Funktioner
____________________________
Funktioner der vokser eller falder med samme procentsats, de kalder for eksponentielle funktioner.
Forskrift
f(x)=b*a^x=b*(1+r)^x
a>0
B kalder for begyndelsesværdien eller starts værdien
A kaldes for grundtallet eller fremskrivningsfaktoren
X kaldes eksponent
R=a-1 kaldes for den relative vækst og er den procentvise udvikling kommatal.
_________________________________
Finde Forskrift udfra
2 punkter
Vi ved at den eksponentielle funktion går gennem 2 punkter:
(x₁,y₁) og (x₂,y₂)
Så kan man finde a
A= =( ))
B= y₁*a^(-x₁⁾ =
Logaritmefunktioner
Logaritmen til y skrives ln (y)
Det er en knap på lommeregneren,
Og der gælder følgene regler
ln (a^x)=x*ln(a)
ln (a*b) = ln(a)+ln (b)
ln () =ln (a) - ln(b)

Hvordan man bruger nspire til at regne med

En lille video der viser hvordan man bruger n-spire til at plus, minus, dividere og gange med.

2 grads funktioner

Forskrift
ax²+bx+c

Når noget står i anden er det en anden gradsfunktion

De hedder også parabler

F(x)=ax²+bx+c

(x skal stå i anden ellers er det ikke en andengradsfunktion)

Hvis a >0 vender grenene opad

Hvis a <0 vender grenene nedad

Hvis a er stor (feks 2 el 5) så er grafen smal og hvis den er lille (fesk 0,5 el 0,1) så er grafen bred

C er skæring med y aksen

Hvis a og b har samme fortegn så rykkes grafen til højre

En parabel er symmetrisk omkring sit toppunkt

B har betydning for toppunktets placering. Toppunktets x koordinator kan beregnes som t_x=

Diskriminanten d beregnes som:

D=b²-4*a*c

Toppunktets y-koordinat kan beregnes som

T_y=

Eksempel

F(x)=2x²+3x+1

A=2 b=3 c=1

D=3²-4*2*1=9-1=1

T_x=-3/2*2=-3/4=-0,75

T_y=-1/4*2=1/8=-0,125

Nulpunkter
hvis d>0 så er der 2 nulpunkter

Hvis d <0 så er der 0 nulpunkter

Hvis d er=0 så er de 1 nulpunkt

X₁

X₂=

Matematik Funktioner

Funktioner
Det er en funktion
Et tal ind”x” et tal ud ”y”
Forskrift
En tal størrelse, afhænger af en anden tal størrelse
”x” ”y”
Man siger y er en funktion af x
Og vi skriver y=fx
Forskriften er for funktionen af den beregning som funktionen laver.
Og vi skriver
f(x) = 2+1 det er en forskrift
Funktionsværdien
Findes
ex: f(x)=2x+1
Og jeg vil finde funktionsværedien
Af 2 sætter jeg 2 ind på x plads og regner ud hvad jeg får.
Hvad jeg får. Funktionsværdien af 2 skrives som
Ex: f(2)=2*2+1=5
Definitionsmængde
”DM” er de værdier som x kan være
Værdimængden (Vm)
er de værdier som y kan være

Forskrift	Funktionsværdi
F(x)=2x+1	F(1)=2*1+1=3

Nulpunkter
Angiver skæring med x aksen dvs løsning til f(x)=0
Fortegnsvaration
Angiver om fuktionen er positiv eller negativ dvs om den ligger over eller under x aksen.
Angiver i hvilke intervaller i forhold til x aksen at funktionen er positiv eller negativ dvs om den ligger over eller under.
Monotoni forhold
Angiver om grafen er voksende eller aftagene igen i forhold til x aksen at funktionen er voksende eller aftagende.
Maksimum/minimum (ekstreme)
Største og mindste værdig
min=mindsteværdi på grafen og
max= største værdi (top og bund)
Man taler om globalt maksimum eller minimum (hele grafen) også
taler man også om lokalt maksimum eller minimum. (de andre max og min)
Fællesbetegnelse=Ekstrema for maksimum og minimum











Lineære funktioner
En lineær funktion har altid en forskrift på formen ”f(x)= a*x+b” hvor a er nogen tal
A kaldes hældningstallet (stigningstallet) det fortæller hvor meget funktionen går op eller ned, når man går en enhed hen ad x aksen.
B kaldes skæring med y aksen
Monotoni forhold
A>0 er funktionen voksende
A<0 er funktionen aftagende
A=0 er funktionen konstant

Bestemmelse af forskrift ud fra 2 punkter
Hvis man kender 2 punkter:
(x1,y1) og (x2,y2) så kan man beregne a og b således
A=
B=y1-a*x1